成人高考2021年《数学（理）》难点：指数函数和对数函数

　　2021年成人高考《数学（理）》难点：指数函数和对数函数

　　指数函数、对数函数是高考考查的重点内容之一，本节主要帮助考生掌握两种函数的概念、图象和性质并会用它们去解决某些简单的实际问题。

　　●难点磁场

　　（★★★★★）设f（x）=log2 ,F（x）= +f（x）。

　　（1）试判断函数f（x）的单调性，并用函数单调性定义，给出证明；

　　（2）若f（x）的反函数为f-1（x），证明：对任意的自然数n（n≥3），都有f-1（n）> ;

　　（3）若F（x）的反函数F-1（x），证明：方程F-1（x）=0有惟一解。

　　●案例探究

　　[例1]已知过原点O的一条直线与函数y=log8x的图象交于A、B两点，分别过点A、B作y轴的平行线与函数y=log2x的图象交于C、D两点。

　　（1）证明：点C、D和原点O在同一条直线上；

　　（2）当BC平行于x轴时，求点A的坐标。

　　命题意图：本题主要考查对数函数图象、对数换底公式、对数方程、指数方程等基础知识，考查学生的分析能力和运算能力。属★★★★级题目。

　　知识依托：（1）证明三点共线的方法：kOC=kOD.

　　（2）第（2）问的解答中蕴涵着方程思想，只要得到方程（1），即可求得A点坐标。

　　错解分析：不易考虑运用方程思想去解决实际问题。

　　技巧与方法：本题第一问运用斜率相等去证明三点共线；第二问运用方程思想去求得点A的坐标。

　　（1）证明：设点A、B的横坐标分别为x1、x2,由题意知：x1>1,x2>1,则A、B纵坐标分别为log8x1,log8x2.因为A、B在过点O的直线上，所以 ,点C、D坐标分别为（x1,log2x1），（x2,log2x2），由于log2x1= = 3log8x2,所以OC的斜率：k1= ,

　　OD的斜率：k2= ，由此可知：k1=k2,即O、C、D在同一条直线上。

　　（2）解：由BC平行于x轴知：log2x1=log8x2 即：log2x1= log2x2,代入x2log8x1=x1log8x2得：x13log8x1=3x1log8x1,由于x1>1知log8x1≠0,∴x13=3x1.又x1>1,∴x1= ,则点A的坐标为（ ，log8 ）。

　　[例2]在xOy平面上有一点列P1（a1,b1），P2（a2,b2），…，Pn（an,bn）…，对每个自然数n点Pn位于函数y=2000（ ）x（0

　　（1）求点Pn的纵坐标bn的表达式；

　　（2）若对于每个自然数n,以bn,bn+1,bn+2为边长能构成一个三角形，求a的取值范围；

　　（3）设Cn=lg（bn）（n∈N*），若a取（2）中确定的范围内的最小整数，问数列{Cn}前多少项的和最大？试说明理由。

　　命题意图：本题把平面点列，指数函数，对数、最值等知识点揉合在一起，构成一个思维难度较大的综合题目，本题主要考查考生对综合知识分析和运用的能力。属★★★★★级

　　题目。

　　知识依托：指数函数、对数函数及数列、最值等知识。

　　错解分析：考生对综合知识不易驾驭，思维难度较大，找不到解题的突破口。

　　技巧与方法：本题属于知识综合题，关键在于读题过程中对条件的思考与认识，并会运用相关的知识点去解决问题。

　　解：（1）由题意知：an=n+ ,∴bn=2000（ ） .

　　（2）∵函数y=2000（ ）x（0bn+1>bn+2.则以bn,bn+1,bn+2为边长能构成一个三角形的充要条件是bn+2+bn+1>bn,即（ ）2+（ ）-1>0,解得a<-5（1+ a="">5（ -1）。∴5（ -1）

　　（3）∵5（ -1）

　　∴bn=2000（ ） .数列{bn}是一个递减的正数数列，对每个自然数n≥2,Bn=bnBn-1.于是当bn≥1时，Bn

　　●锦囊妙计

　　本难点所涉及的问题以及解决的方法有：

　　（1）运用两种函数的图象和性质去解决基本问题。此类题目要求考生熟练掌握函数的图象和性质并能灵活应用。

　　（2）综合性题目。此类题目要求考生具有较强的分析能力和逻辑思维能力。

　　（3）应用题目。此类题目要求考生具有较强的建模能力。